El capítulo 2 es la maquinaria. No hay ontologías aquí: hay lógica de primer orden, teoría de modelos y tres formas distintas de sacar conclusiones. Es corto y el libro lo llama explícitamente in a nutshell — no pretende sustituir un curso de lógica.

Si los símbolos (∀, ∃, ⊑, ⊨) todavía no te dicen nada, están todos explicados uno a uno en el capítulo 0.

Pero resuelve algo que quedó suelto en el capítulo 1. Allí el razonador se negó a deducir que los impalas son herbívoros, y quedó como una rareza del mundo abierto. No lo es. Es que aquello nunca fue una deducción.

Sintaxis y semántica: la distinción que hay que tener clara

Sintaxis es qué cadenas de símbolos están bien formadas. Semántica es qué significan. Son independientes: una fórmula puede ser sintácticamente impecable y no decir nada de lo que creías.

Para darle significado a una frase hace falta describir una situación concreta donde mirarla. El libro le llama estructura; puedes pensarlo como «un mundo posible». Tiene tres partes, y ninguna es complicada:

• las cosas que hay en ese mundo;
• las palabras que te dejas usar;
• a qué apunta cada palabra — qué cosa es «la mesa», qué grupo de cosas son «sillas».

Un modelo de tu teoría es un mundo donde todo lo que escribiste sale verdadero.

¿Y esto qué quiere decir? Sin jerga

Imagina que describes una habitación por teléfono a alguien que no la ve.

Le dices tres cosas: «hay una mesa», «hay una silla», «la silla está junto a la mesa».

Esa persona ahora se imagina la habitación. Pero no hay una habitación posible: hay miles. Con la mesa de madera o de cristal. Con una silla o con cinco. Con una ventana, o sin ella. Todas encajan con lo que dijiste.

Cada una de esas habitaciones imaginadas es lo que la lógica llama un modelo: una manera concreta de que todo lo que dijiste sea verdad.

Las tres piezas raras de la tabla de arriba son solo las partes de esa habitación imaginada:

• el conjunto de cosas que hay — la mesa, la silla, lo que sea que haya dentro;
• las palabras que usas — «mesa», «silla», «junto a»;
• a qué apunta cada palabra — cuál de las cosas es la mesa, cuáles parejas de cosas están «junto a» otra.

Y ya está. Una habitación imaginada = las cosas + qué nombre lleva cada una.

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Lo importante viene ahora.

Le preguntas a esa persona: «¿la silla es de madera?»

Y te responde: «no lo sé». No porque sea tonta, sino porque puede imaginarse una habitación con silla de madera y otra con silla de plástico, y las dos encajan con lo que le contaste.

Para que pueda contestarte que sí, tendría que ser de madera en todas las habitaciones que puede imaginar. En todas, sin excepción.

Eso es lo único que quiere decir la frase «se sigue de la teoría»:

es cierto en todas las situaciones que encajan con lo que escribiste, no solo en la que tú tenías en la cabeza.

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Y por eso el razonador te lleva la contraria.

Tú describes tu ontología pensando en tu habitación. Él se imagina todas las habitaciones posibles que encajan con tu descripción. Si encuentra una sola donde tu conclusión falle, te dice que no se sigue.

Es exactamente lo que pasó con el impala en el capítulo 1. Tú te imaginabas el mundo donde todos los impalas son herbívoros. El razonador se imaginó otro —con impalas que ningún león se come, y que no son herbívoros— que también encajaba con lo escrito. Con encontrar ese, ya no lo deduce.

Cuando el razonador no deduce algo obvio, no está roto. Te está diciendo: «me puedo imaginar una situación que cumple tus reglas y donde eso es falso». Y casi siempre significa lo mismo — te faltó escribir una regla.

La versión formal, para cuando haga falta citarla

Las definiciones tal cual las da §2.1.2:

Pieza	Definición
Vocabulario V	un conjunto de símbolos de función, relación y constante (Def. 2.5)
V-estructura M	un conjunto no vacío Δ más una interpretación de V: a cada constante le asigna un elemento de Δ; a cada relación de n huecos, un subconjunto de Δⁿ — o sea, qué grupos de n cosas cumplen esa relación (Def. 2.6)
Modelo de Γ	una V-estructura que modela cada sentencia de Γ (Def. 2.9)
Teoría de M	el conjunto de todas las V-sentencias verdaderas en M (Def. 2.8)
Teoría completa	para toda sentencia, contiene esa sentencia o su negación, pero no ambas (Def. 2.10)

M ⊨ φ se lee «M es un modelo de φ»: la sentencia φ es verdadera en esa estructura.

Y de aquí sale la noción que de verdad usas todos los días:

T ⊨ α — la teoría T implica α — significa que en todos los modelos de T, α es verdadera. No en el que tú tenías en la cabeza: en todos.

Ahí está el nudo de casi todo. Cuando dices «pero es evidente que el impala es herbívoro», estás pensando en tu modelo. El razonador comprueba todos, y le basta encontrar uno donde no lo sea para no deducirlo.

Las tres formas de inferir (§2.2.3)

	Qué hace	¿Conserva la verdad?
Deducción	T ⊨ α: α ya estaba implícita en T	sí
Abducción	busca a como explicación de una observación b	no — es una hipótesis
Inducción	generaliza desde individuos a una regla	no — puede ser falsa con premisas verdaderas

De la deducción, Keet dice algo que conviene no olvidar: «strictly speaking, a deduction does not reveal novel knowledge». Solo saca a la luz lo que ya estaba. Que a un experto del dominio le parezca nuevo es un problema de tamaño de la teoría, no de creatividad del razonador.

Los razonadores de ontologías hacen deducción. Solo deducción. La abducción está mucho menos automatizada (se usa, por ejemplo, en detección de fallos: dado el sistema y el estado defectuoso, encontrar la avería probable). La inducción es lo que hace el aprendizaje automático, y por eso da respuestas de otro tipo.

Cómo se demuestra T ⊨ α

Dos caminos, y el segundo es el que usan las herramientas:

1. Deducción natural — construir la prueba hacia adelante desde las premisas.
2. Refutación — suponer lo contrario y buscar la contradicción:

T ⊨ α si y solo si T ∪ {¬α} es inconsistente.

Sobre esto se montan resolución, métodos de conexión y tableaux. Es también, literalmente, la única llamada que ofrece un razonador OWL: preguntarle si algo es consistente. Todo lo demás —clasificación, satisfacibilidad, comprobar una implicación— se reduce a eso.

Y tiene un corolario práctico que vale oro: puedes preguntarle a tu razonador si algo NO se sigue. Si añades la negación y la ontología sigue siendo consistente, tienes la prueba de que tu teoría no dice lo que creías.

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Caso de estudio: el impala no era un fallo, era una abducción

Reproducible con:

cd capitulos/02-logica-primer-orden/artefactos
python3 -m venv .venv && ./.venv/bin/pip install -r requirements.txt
./.venv/bin/python verificar.py     # necesita Java en el PATH

Todas las preguntas se deciden con el método de refutación de §2.2.3: se añade ¬α y se mira si la teoría revienta.

Primero, calibrar: una deducción de verdad

El ejemplo del propio libro. T = «cada arácnido tiene exactamente 8 patas» + «cada tarántula es un arácnido». α = «cada tarántula tiene exactamente 8 patas».

[ok] T por sí sola es consistente
[ok] T ∪ {¬α} es inconsistente, luego T |= α

Funciona. Y no ha aparecido conocimiento nuevo: las patas de la tarántula ya estaban en T, solo que nadie las había escrito.

Ahora, el impala

En la ontología del libro está declarado:

lion ⊑ ∀eats.herbivore ⊓ ∃eats.Impala

Se prueban dos afirmaciones por refutación:

[ok] T ∪ {¬α} INCONSISTENTE  con α = lion ⊑ ∃eats.(Impala ⊓ herbivore)
[ok] T ∪ {¬α} CONSISTENTE    con α = Impala ⊑ herbivore

T ⊨ lion ⊑ ∃eats.(Impala ⊓ herbivore)

T ⊭ Impala ⊑ herbivore — abducción, no deducción

La primera sí se deduce. La segunda no, y ahora hay una prueba formal, no una observación de que «el razonador no lo sacó».

La diferencia es exactamente dónde cae el cuantificador. De ∀eats.herbivore y ∃eats.Impala se sigue que el impala concreto que ese león se come es un herbívoro. La clase Impala entera no entra en el argumento: nada impide un modelo con impalas que ningún león toca y que no son herbívoros. Como T ⊨ α exige que α valga en todos los modelos, basta ese para que no se deduzca.

Entonces, ¿qué era?

Una abducción: Impala ⊑ herbivore no es una consecuencia de T, es una explicación candidata de lo que observas.

[ok] H  = «Impala ⊑ herbivore»          → T ∪ {H} consistente: explicación admisible
[ok] H' = «algún impala es herbívoro»   → T ∪ {H'} consistente: también lo explica

Y aquí está lo que hace peligrosa a la abducción: no da una respuesta única. H' es estrictamente más débil que H y explica lo mismo. Elegir H porque «suena bien» es meter en la ontología un compromiso mucho más fuerte del que los datos justifican — y en biología es además falso, porque hay impalas que ningún león se come.

Un razonador no elige por ti. Ni siquiera te avisa de que estás eligiendo.

Y la inducción, de paso

[ok] de «tibbles es un gato con cola» NO se sigue «todos los gatos tienen cola»
[ok] al afirmarlo, un solo gato sin cola (un manx) vuelve la teoría inconsistente

El salto inductivo es lo que casi todo el mundo hace al modelar: mira cinco ejemplos, escribe la regla universal. Funciona hasta que aparece el manx. La diferencia con el machine learning es que allí la regla es probabilística y aquí es un axioma duro: un contraejemplo no baja la precisión, destruye la ontología entera.

Qué deja el caso

1. T ⊨ α es cuantificación sobre modelos, no sobre tu intuición. Un solo modelo donde α falle basta para que no se deduzca.
2. El razonador solo deduce. Cuando esperas una inferencia y no llega, la pregunta no es «¿qué le pasa al razonador?» sino «¿esto es realmente una deducción, o estoy abduciendo?».
3. Puedes probar la ausencia. Añade ¬α; si sigue consistente, tu teoría no dice lo que creías. Es la herramienta de diagnóstico más barata que existe y casi nadie la usa.
4. Cuidado al convertir una abducción en axioma. Suele haber una hipótesis más débil que explica lo mismo, y esa es casi siempre la correcta.

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Los ejercicios (§2.3)

Review question 2.1. «What is the difference between syntax and semantics for a logic?» — La sintaxis dice qué cadenas están bien formadas; la semántica, qué significan, vía estructuras que asignan un dominio Δ e interpretan cada símbolo. Una fórmula puede ser sintácticamente correcta y semánticamente decir algo distinto de lo que pretendías: el capítulo 1 entero fue un ejemplo de eso.

Review question 2.2. «What is a theory?» — Un conjunto de sentencias. Dado un M, la teoría de M es el conjunto de todas las V-sentencias verdaderas en M (Def. 2.8). Una teoría es completa si para toda sentencia φ contiene φ o ¬φ, pero no ambas (Def. 2.10).

Review question 2.3. «Name the four core components for automated reasoning.» — El lenguaje lógico (sintaxis), su semántica, un cálculo con reglas de deducción, y un algoritmo que lo implemente. Criterio propio: lo que hay que retener es que las dos propiedades que se le exigen a esa combinación son ser correcta (lo que deduce es verdadero) y completa (deduce todo lo verdadero); sin ambas, el silencio del razonador no significa nada.

Review question 2.4. «Describe the procedure for tableau reasoning in four short sentences.» — Se niega lo que se quiere probar y se añade a la teoría. Se descompone cada fórmula según su conectiva, ramificando en las disyunciones. Una rama se cierra cuando contiene una fórmula y su negación. Si todas las ramas cierran, la teoría con la negación es insatisfacible, luego lo original se deduce.

Exercise 2.1. «Write in one natural language sentence what the following sentences in First-Order Logic state.»

Fórmula	En español
∀x(Lion(x) → Mammal(x))	Todo león es un mamífero.
∀x(PC(x) → ∃y,z(hasPart(x,y) ∧ connected(x,z) ∧ CPU(y) ∧ Monitor(z)))	Todo PC tiene como parte alguna CPU y está conectado a algún monitor.
∀x,y(hasProperPart(x,y) → ¬hasProperPart(y,x))	Si algo es parte propia de otra cosa, esa otra no es parte propia de la primera: la parte propia es asimétrica.

La tercera merece un apunte: asimetría no es lo mismo que irreflexividad, aunque en mereología vayan juntas. La asimetría prohíbe el ciclo de longitud 2; la irreflexividad prohíbe el de longitud 1. En OWL 2 son dos declaraciones distintas.

Exercise 2.2. «Formalise the following natural language sentence into First-Order Logic.»

a.  ∀x(Car(x) → Vehicle(x))

b.  ∀x((Human(x) ∧ Parent(x)) → ∃y(hasChild(x,y) ∧ Human(y)))

c.  ¬∃x,y(Person(x) ∧ Course(y) ∧ lecturerOf(x,y) ∧ studentEditorOf(x,y))
    equivalente:  ∀x,y((lecturerOf(x,y) ∧ Person(x) ∧ Course(y)) → ¬studentEditorOf(x,y))

En (c) el «del mismo curso» es lo que obliga a que y sea la misma variable en ambas relaciones. Escribirlo como dos restricciones sueltas —«no es profesor» y «no es editor estudiante»— sería una formalización distinta y más fuerte, que prohíbe las dos cosas incluso en cursos diferentes. Criterio propio: este es el error de formalización más común del ejercicio, y es la misma clase de error de alcance que rompió la ontología del capítulo 1.

Exercise 2.3. «Consider the structures in Figure 2.6, which are graphs.» — El ejercicio depende de una figura del libro; lo relevante para lo que viene después es el apartado (a): dos dibujos distintos pueden tener exactamente la misma descripción en vértices y aristas. Es la misma idea de §1.1 — el dibujo no es la teoría. La estructura es lo que la interpretación fija, no lo que se ve en el papel.

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Lo que hay que llevarse

1. T ⊨ α cuantifica sobre todos los modelos. Tu intuición es un modelo entre muchos.
2. Los razonadores deducen y nada más. Abducción e inducción se parecen a razonar, pero no conservan la verdad.
3. T ⊨ α sii T ∪ {¬α} inconsistente. Sirve tanto para probar como para refutar, y refutar es lo que casi nunca se hace.
4. Una deducción no aporta nada nuevo. Si esperabas que el razonador «descubriera» algo, lo que buscabas era abducción o inducción, y ninguna de las dos vive en un razonador OWL.

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Para la defensa — lo que te van a preguntar de aquí

«¿Qué significa exactamente T ⊨ α?»

Que en todos los modelos de T, α es verdadera. Es una cuantificación sobre modelos, no una afirmación sobre el modelo que uno tiene en mente. La consecuencia práctica es que basta un solo modelo donde α falle para que no se siga — y ese modelo puede ser uno que el modelador nunca consideró.

«¿Qué diferencia hay entre deducción, abducción e inducción? ¿Cuál hace un razonador OWL?»

Solo deducción, y solo esa. La deducción conserva la verdad: si las premisas son verdaderas, la conclusión lo es. La abducción propone una hipótesis que explicaría una observación, y la inducción generaliza desde individuos; ninguna de las dos conserva la verdad, y por tanto ninguna está en un razonador de ontologías.

El matiz que conviene añadir: una deducción, estrictamente, no aporta conocimiento nuevo — solo hace explícito lo que ya estaba. Que a un experto le parezca un descubrimiento es una cuestión del tamaño de la teoría, no de creatividad del sistema.

«¿Cómo demuestras que algo NO se sigue de tu ontología?»

Por refutación, que es el método del propio capítulo: T ⊨ α si y solo si T ∪ {¬α} es inconsistente. Luego para probar que α no se sigue, se añade ¬α y se comprueba que la ontología sigue siendo consistente. Es una prueba, no la ausencia de un resultado.

Por qué es una respuesta fuerte: casi todo el mundo mira solo qué salió clasificado, y de ahí no se puede concluir nada — el silencio de un razonador no es evidencia sin esta comprobación. En este trabajo se usa para demostrar que Impala ⊑ herbivore no es una consecuencia de la ontología del libro, sino una abducción.

«¿Por qué te fías del razonador?»

Por dos propiedades que hay que nombrar juntas: corrección (todo lo que deduce es verdadero en la teoría) y completitud (deduce todo lo que es verdadero en ella). Sin corrección, lo que afirma no vale; sin completitud, su silencio no significa nada — podría haber una consecuencia que simplemente no encuentra.

Aquí es donde conectar con los perfiles de OWL 2: un razonador puede ser completo para un fragmento del lenguaje e incompleto si la ontología usa construcciones fuera de él. Por eso importa saber en qué perfil está una ontología antes de interpretar lo que el razonador no dijo.

«Si tu ontología es consistente pero no deduce lo que esperabas, ¿qué haces?»

Primero comprobar por refutación si realmente es una deducción o estaba abduciendo. Si no se sigue, la pregunta correcta no es «¿qué le pasa al razonador?» sino «¿qué axioma me falta?». Y al añadirlo, vigilar no meter una hipótesis más fuerte de lo que los datos justifican: casi siempre existe una versión más débil que explica lo mismo.