Description Logics: el motor que hay debajo de OWL

El capítulo 3 es el que explica por qué el razonador infiere lo que infiere. Las lógicas descriptivas son fragmentos decidibles de la lógica de primer orden, y OWL 2 no es más que una sintaxis para una de ellas. Todo lo que en el capítulo 4 parecerá una peculiaridad de la herramienta, aquí es una decisión de diseño con nombre y coste computacional.

Si ⊑, ≡, ∀, ∃ o ⊤ todavía no se leen solos, están uno a uno en el capítulo 0.

Tres tipos de entidades, tres cajas (§3.1.1)

En una lógica descriptiva solo hay tres clases de cosas: conceptos (conjuntos de individuos), roles (relaciones binarias) y nombres de individuo. En lógica de primer orden serían predicados unarios, binarios y constantes.

Los axiomas se agrupan por costumbre —no por obligación lógica— en tres cajas:

Caja	Qué contiene	Ejemplo
ABox	hechos sobre individuos con nombre	Mother(julia), parentOf(julia, john)
TBox	terminología: relaciones entre conceptos	Mother ≡ Female ⊓ Parent
RBox	axiomas sobre los roles	parentOf ⊑ ancestorOf, parentOf⁻ ≡ childOf

Keet insiste en un punto que conviene no perder: «unlike a database, a DL ontology does not fully describe a particular situation». Los axiomas capturan conocimiento parcial, y hay muchos estados del mundo compatibles con la ontología. Es la misma idea del capítulo 2 —cuantificar sobre todos los modelos— dicha en el vocabulario que se usará de aquí en adelante.

Constructores: dónde empieza a doler (§3.1.2)

Los booleanos son los esperables: C ⊓ D, C ⊔ D, ¬C, más ⊤ y ⊥.

Lo que de verdad cambia cómo modelas son las restricciones de rol, y en concreto la pareja ∃R.C / ∀R.C:

Construcción	Se lee	Trampa
∃eats.Plant	come al menos una planta	no dice que solo coma plantas
∀eats.Plant	todo lo que come es planta	cierto si no come nada

Esa última casilla es el contenido entero del caso de estudio de esta página.

¿Y esto qué quiere decir? Sin jerga

Piensa en una caja de fruta y en dos frases sobre ella.

«En la caja hay alguna manzana» — para comprobarlo tienes que encontrar una manzana. Si la caja está vacía, la frase es falsa.

«En la caja, todo lo que hay es manzana» — para comprobarlo vas sacando cosas y miras que ninguna desentone. Si la caja está vacía, no sacas nada, no encuentras ninguna que desentone… y la frase es verdadera.

Suena a truco, pero es exactamente cómo funciona: «todo lo que hay es X» se cumple de sobra cuando no hay nada.

La primera frase es ∃. La segunda es ∀. Y por eso una persona de la que consta que no come nada encaja perfectamente en la definición de vegana: todo lo que come es vegetal, porque no come nada.

---

Y hay una segunda vuelta. Para que el razonador saque esa conclusión, no basta con que no sepas qué come esa persona. Tienes que decirle que no come nada.

Que en tu ontología no haya un dato no significa que ese dato no exista: significa que no consta. Silencio no es negación. Si quieres que el razonador trate la caja como vacía, hay que escribir «esta caja está vacía» — no basta con no escribir nada.

También están los nominales ({julia}, enumerar individuos como concepto) y las cardinalidades cualificadas (≥2 parentOf.Person). Cada uno tiene su letra en el nombre de la lógica y su factura en complejidad.

Semántica: interpretaciones, otra vez (§3.1.3)

Idéntica maquinaria que en el capítulo 2, con notación propia. Una interpretación I es un dominio no vacío Δᴵ más una función ·ᴵ que manda cada concepto a un subconjunto de Δᴵ, cada rol a un subconjunto de Δᴵ × Δᴵ y cada individuo a un elemento de Δᴵ.

La versión formal, para cuando haga falta citarla

Tal como las da §3.2.1 para ALC:

Sintaxis	Semántica
(¬C)ᴵ	Δᴵ \ Cᴵ
(C ⊓ D)ᴵ	Cᴵ ∩ Dᴵ
(C ⊔ D)ᴵ	Cᴵ ∪ Dᴵ
(∀R.C)ᴵ	{x | ∀y. Rᴵ(x,y) → Cᴵ(y)}
(∃R.C)ᴵ	{x | ∃y. Rᴵ(x,y) ∧ Cᴵ(y)}

Con ⊤ᴵ = Δᴵ y ⊥ᴵ = ∅. I satisface C ⊑ D si Cᴵ ⊆ Dᴵ, y satisface C ≡ D si Cᴵ = Dᴵ. Una KB es satisfacible si admite un modelo.

Mirando la fila de ∀R.C: si no hay ningún y con Rᴵ(x,y), el condicional es verdadero para todos ellos —no hay ninguno— y x pertenece a (∀R.C)ᴵ. La vacuidad no es una excepción del sistema: es la definición.

Cuál es cuál: ALC, SROIQ, y los fragmentos (§3.2)

ALC —Attributive Language with Concept negation— es la base: conceptos, roles, ⊓ ⊔ ¬, ∀ ∃, ⊤ ⊥. Todo el caso de estudio de esta página cabe en ALC.

A partir de ahí se añaden letras: I inversas, H jerarquía de roles, Q cardinalidades cualificadas, O nominales, R inclusiones complejas de roles y S la abreviatura de ALC con roles transitivos. SROIQ es la suma de todas, y es la lógica que hay debajo de OWL 2 DL.

En la otra dirección están los fragmentos, que quitan expresividad para ganar tiempo de respuesta: EL (solo ⊓ y ∃, razonamiento en tiempo polinómico) y DL-Lite (pensada para consultar bases de datos, y la que reaparece en el capítulo 8). Son los que en el capítulo 4 se llamarán perfiles de OWL 2.

Que existan varias lógicas descriptivas y no una sola es exactamente lo que dice Keet: «the best balance between expressivity of the language and complexity of reasoning depends on the intended application» (cap. 3, §3.1).

Los cinco servicios estándar (§3.3.1)

Servicio	Pregunta	Formalmente
Consistencia	¿la KB se contradice a sí misma?	KB ⊭ ⊤ ⊑ ⊥
Satisfacibilidad de concepto	¿puede C tener instancias?	KB ⊭ C ⊑ ⊥
Subsunción	¿toda instancia de C lo es de D?	KB ⊨ C ⊑ D
Instance checking	¿es a un C?	KB ⊨ C(a)
Instance retrieval	¿quiénes son los C?	{a | KB ⊨ C(a)}

Los cinco se reducen a una única llamada —comprobar consistencia— por el método de refutación del capítulo 2. La técnica concreta es el tableau (§3.3.2): se niega lo que se quiere probar, se descompone según las conectivas ramificando en las disyunciones, y si todas las ramas se cierran con una contradicción, lo original se deduce.

---

Caso de estudio: el ejercicio de los veganos, y lo que el ejercicio no dice

Reproducible con:

cd capitulos/03-logicas-descriptivas/artefactos
python3 -m venv .venv && ./.venv/bin/pip install -r requirements.txt
./.venv/bin/python verificar.py     # necesita Java en el PATH

La TBox es literalmente la del Exercise 3.2 del libro:

Vegan      ≡ Person ⊓ ∀eats.Plant
Vegetarian ≡ Person ⊓ ∀eats.(Plant ⊔ Dairy)

El ejercicio pide demostrar a mano, con un tableau, si T ⊢ Vegan ⊑ Vegetarian. Aquí se decide con HermiT y el método de refutación, que es lo que el tableau hace por dentro.

Lo que pide el ejercicio

[ok] T sola es consistente
[ok] T ∪ {¬(Vegan ⊑ Vegetarian)} INCONSISTENTE
[ok] T ∪ {¬(Vegetarian ⊑ Vegan)} CONSISTENTE

T ⊨ Vegan ⊑ Vegetarian

Sí se deduce, y la razón es puramente semántica: ∀eats.Plant obliga a que todo lo comido caiga en Plant, que está contenido en Plant ⊔ Dairy. Cuanto más grande es el concepto del ∀, más débil es la restricción — el ∀ es antimonótono en su argumento. El recíproco no se sigue, y no hace falta intuición para saberlo: al negarlo la teoría aguanta.

Lo que el ejercicio no dice: el vegano que no come

Si la definición de vegano es «todo lo que come es vegetal», entonces alguien de quien conste que no come nada la cumple. Y el razonador lo clasifica:

[ok] «nadia» (persona, y se afirma que no come nada) → se clasifica como Vegan
[ok] «perico» (persona, sin ningún dato sobre lo que come) → NO se clasifica

KB ⊨ Vegan(nadia)

Las dos comprobaciones juntas son el punto entero:

1. El ∀ se satisface vacuamente. No es un fallo del razonador: es la fila (∀R.C)ᴵ de la tabla de semántica aplicada al caso en que no hay ningún y. Una definición escrita solo con ∀ deja entrar a todo lo que no hace nada. Lo que se quería decir casi siempre era ∃eats.Plant ⊓ ∀eats.Plant: que coma, y que lo que coma sea vegetal.
2. Y aun así, no basta con no decir nada. A perico no se le clasifica, porque en mundo abierto que no conste qué come no significa que no coma. Para que nadia cuente hubo que cerrar el mundo explícitamente sobre ella: ¬∃eats.⊤.

Es la misma pareja de errores en direcciones opuestas: el ∀ es más permisivo de lo que se cree, y el silencio de la ontología es más débil de lo que se cree.

Definida frente a primitiva, medido

Ahora el mismo texto en lenguaje natural, pero con las dos clases declaradas como primitivas (⊑, condiciones solo necesarias) en vez de definidas (≡, necesarias y suficientes):

[ok] con Vegan primitiva, «nadia» ya NO se clasifica como Vegan
[ok] con ambas primitivas, T ∪ {¬(Vegan ⊑ Vegetarian)} vuelve a ser CONSISTENTE

con clases primitivas: T ⊭ Vegan ⊑ Vegetarian

La segunda línea es el hallazgo del capítulo, y no era la previsión de partida —la primera versión de verificar.py afirmaba que la subsunción sobrevivía, y HermiT la tumbó. Tiene razón: para deducir que un vegano es vegetariano hace falta la condición suficiente de Vegetarian, y una clase primitiva no la tiene. Sin ella, nada obliga a que nadie entre en Vegetarian.

Lo que se dio por supuesto y era falso

Suposición de partida: «degradar a primitiva solo hace que se clasifiquen menos individuos; las relaciones entre clases se mantienen».

Es falso, y por una razón que se ve mejor al revés: ⊑ no es media ≡. Una clase primitiva no dice nada sobre quién pertenece a ella, solo sobre qué cumplen los que ya pertenecen. Toda inferencia que necesite meter algo dentro de una clase —clasificar un individuo, o probar una subsunción cuyo lado derecho es esa clase— desaparece al degradarla.

La regla práctica que queda: si en algún momento se espera que el razonador meta algo en una clase, esa clase tiene que ser definida. Si solo se espera que saque consecuencias de estar dentro, basta con primitiva.

Satisfacibilidad de un concepto

[ok] Vegan ⊓ ∃eats.Dairy INSATISFACIBLE      (con Plant ⊓ Dairy ⊑ ⊥)
[ok] Vegan ⊓ ∃eats.Dairy SATISFACIBLE        (sin declarar la disyunción)

Sin el axioma de disyunción, nada impide un modelo donde un mismo objeto sea planta y lácteo a la vez. La disyunción entre hermanos no es gratis y no es automática; es lo que convierte una taxonomía en una teoría con contenido.

Qué deja el caso

1. ∀R.C es cierto por vacuidad. Una definición hecha solo de universales admite a todo el que no participa en la relación.
2. Y el mundo abierto lo tapa. Esa vacuidad solo se activa cerrando el mundo explícitamente, así que el error se cuela silenciosamente en cuanto llegan datos completos.
3. ≡ frente a ⊑ no es un matiz de estilo. Cambia qué se deduce, incluido lo que no tiene nada que ver con clasificar individuos.
4. La disyunción hay que escribirla. Sin ella, conceptos que parecen incompatibles son perfectamente satisfacibles juntos.

---

Los ejercicios (§3.4)

Review question 3.1. «How are DLs typically different from full FOL?» — Son fragmentos decidibles: se renuncia a expresividad (predicados n-arios, variables libres, cuantificación arbitraria) a cambio de que el razonamiento termine siempre. Se limitan a predicados unarios y binarios y a un conjunto fijo de constructores.

Review question 3.2. «What are the components of a DL knowledge base?» — TBox (terminología), ABox (hechos sobre individuos) y RBox (axiomas sobre roles). La separación es convención: lógicamente son todos axiomas.

Review question 3.3. «What are the concept and role constructors?» — Para ALC: de concepto, ¬C, C ⊓ D, C ⊔ D, ∀R.C, ∃R.C, más ⊤ y ⊥; de rol, ninguno. SROIQ añade nominales {a}, cardinalidades cualificadas ≥n R.C, inversas R⁻, jerarquías y cadenas de roles, Self y roles disjuntos.

Review question 3.4. «What distinguishes one DL from another?» — El conjunto de constructores que admite, y con él la clase de complejidad de sus servicios de razonamiento. Todas comparten la semántica de teoría de modelos; lo que cambia es qué se puede escribir y qué cuesta decidirlo.

Review question 3.5. «Explain in your own words what the following reasoning tasks involve.»

Tarea	Qué es	Por qué importa
Instance checking	¿KB ⊨ C(a)?	es lo que puebla la ontología con datos: el Vegan(nadia) del caso
Subsumption checking	¿KB ⊨ C ⊑ D?	construye la jerarquía inferida; es lo que detecta que la taxonomía escrita a mano no es la que se dedujo
Concept satisfiability	¿KB ⊭ C ⊑ ⊥?	una clase insatisfacible es un error de modelado, no un resultado: casi siempre una disyunción que choca con una restricción

Exercise 3.1. «Consider again the natural language sentences from Exercise 2.6. Formalise them into a suitable DL, where possible.» — Las del capítulo 2 quedan:

Car ⊑ Vehicle
Human ⊓ Parent ⊑ ∃hasChild.Human

La tercera —«nadie es a la vez profesor y editor estudiante del mismo curso»— no se puede formalizar en una DL estándar. Exige comparar dos roles sobre el mismo par de individuos, y eso es una restricción de disyunción de roles con variables compartidas que ALC no tiene. SROIQ sí admite roles disjuntos (Disjoint(lecturerOf, studentEditorOf)), que es una aproximación más fuerte: prohíbe la coincidencia en cualquier par, no solo la que interesaba. Criterio propio: el «where possible» del enunciado apunta justo a esto — que en lógica descriptiva hay frases del capítulo 2 que sencillamente no caben.

Exercise 3.2. «Consider the following TBox… We want to know if T ⊢ Vegan ⊑ Vegetarian.» — Es el caso de estudio de esta página; ahí está resuelto y verificado. En negación normal, la fórmula del enunciado queda:

Person ⊓ ∀eats.Plant ⊓ (¬Person ⊔ ∃eats.(¬Plant ⊓ ¬Dairy))

La rama con ¬Person cierra contra Person. La otra rama genera un y con eats(a,y), ¬Plant(y), ¬Dairy(y); pero ∀eats.Plant fuerza Plant(y), y choca con ¬Plant(y). Todas las ramas cierran, luego T ⊢ Vegan ⊑ Vegetarian. Es el mismo resultado que devuelve HermiT.

Exercise 3.3. «Download and install Protégé 5.x… load the AWO, click on Lion, and inspect the DL axioms.» — Ejercicio de herramienta. El artefacto de esta página guarda vegetarianos.owl precisamente para poder abrirlo y ver la TBox del ejercicio en notación DL en vez de en RDF/XML. Criterio propio: leer los axiomas en notación DL en Protégé es la forma más rápida de descubrir que una clase que se creía definida está declarada como primitiva — se ve de un vistazo si el símbolo es ≡ o ⊑.

---

Lo que hay que llevarse

1. OWL no tiene semántica propia: la toma de una DL. Cualquier «rareza» del capítulo 4 tiene su explicación aquí.
2. ∀R.C no obliga a nada si no hay R. Es el error de modelado más silencioso del capítulo, y solo aparece cuando llegan datos completos.
3. Definida (≡) o primitiva (⊑) decide qué puede deducirse, no cuánto se deduce.
4. Elegir una DL es elegir una factura. Expresividad y complejidad son la misma decisión mirada por sus dos caras; los perfiles de OWL 2 son esa decisión ya tomada por el W3C.

Salvo los enunciados citados, el análisis y las resoluciones de esta página son criterio propio, verificados con HermiT. Numeración y enunciados tomados del PDF en /libro, no de ediciones web que renumeran las secciones.

Para la defensa — lo que te van a preguntar de aquí

«¿Por qué usar una lógica descriptiva y no lógica de primer orden completa?»

Por decidibilidad. Las DLs son fragmentos de FOL elegidos para que el razonamiento termine siempre y con una complejidad conocida. En FOL completa la implicación es semidecidible: un razonador puede no terminar nunca, y eso hace inviable la herramienta. Se paga con expresividad, y el Exercise 3.1 de este capítulo es un ejemplo concreto: hay frases del capítulo 2 que no se pueden escribir en ALC.

«¿Qué diferencia hay entre una clase definida y una primitiva, y cuándo usa cada una?»

Primitiva (⊑) da condiciones necesarias; definida (≡), necesarias y suficientes. La regla que se sigue en este trabajo: si se espera que el razonador meta algo en la clase —clasificar individuos, o probar una subsunción que termine en ella— tiene que ser definida.

Por qué es una respuesta fuerte: está medido en el caso de estudio, no razonado en abstracto. Al degradar Vegan y Vegetarian a primitivas, no solo dejó de clasificarse el individuo: se perdió la subsunción Vegan ⊑ Vegetarian que el propio ejercicio 3.2 del libro pide demostrar. La primera versión de la verificación daba por supuesto lo contrario y el razonador la desmintió.

«¿Por qué se clasifica como vegano alguien que no come nada?»

Porque ∀eats.Plant es verdadero por vacuidad cuando no hay ningún eats: es la semántica de (∀R.C)ᴵ = {x | ∀y. Rᴵ(x,y) → Cᴵ(y)} con el antecedente siempre falso (cap. 3, §3.1.3). No es un fallo del razonador sino la definición.

Si insisten en que entonces la definición está mal: lo está, y la corrección es añadir el existencial — Vegan ≡ Person ⊓ ∃eats.Plant ⊓ ∀eats.Plant. Una definición hecha solo de universales casi nunca dice lo que su autor cree.

«Si el ∀ es vacuo, ¿por qué no se clasifican todas las personas sin datos?»

Porque la hipótesis de mundo abierto impide concluir que alguien no come solo porque no conste qué come. En el caso de estudio hay dos individuos justo para enseñar esto: al que se le afirma explícitamente ¬∃eats.⊤ se le clasifica, y al que simplemente no tiene datos, no. Es un buen recordatorio de que los dos errores —vacuidad del ∀ y silencio de la ABox— tiran en direcciones opuestas y por eso se tapan mutuamente hasta que llegan datos completos.

«¿Cómo se elige la lógica descriptiva de un proyecto?»

Por el equilibrio entre lo que hay que poder decir y lo que cuesta razonarlo — es el criterio explícito de Keet en §3.1. En la práctica no se elige una DL en abstracto sino un perfil de OWL 2 (cap. 4), que ya es esa decisión tomada: EL para ontologías grandes y poco expresivas, QL para consultas sobre datos, RL para reglas. Todo el caso de estudio de esta página cabe en ALC, la más simple de la familia; nada de lo que se necesitó exigió SROIQ.